x^5=1

1.

x=(1)^(1/5)=1

2.

log (x^5)=5log x=log(1)=0

log x=0/5=0

∴x=10^0 = 1

URLはダミーです

x^5=1…①

x=r(cosθ+(sinθ)i)　(r,θは実数)とおく。

ここで①とド・モアブルの定理により

x^5=r^5(cos5θ+(sin5θ)i)=1(cos0+(sin0)i)=1

⇔r=1,5θ=2πkが成り立つ。（rとθは実数だから）

よって答えは

x=cos(2k/5)π+(sin(2k/5)π)i (K:任意の整数)

と言う感じで良いと思います。

ごめんなさい、二つは思いつきませんでした。

①因数分解して

(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)=0

左辺よりx=1

右のカッコ内をx^2≠0に注意してx^2で割るとx^2+x+1+1/x+1/x^2=0となる。

これは相反方程式なので整理すると{(x+1/x)^2}-2+(x+1/x)+1=0

x^2+x=tとして整理するとt^2+t-1=0

因数分解してt=(-1±√5)/2となる。

x+1/x=tに戻して

x^2-((-1±√5)/2)x+1=0

2x^2-(-1±√5)x+2=0

再び解の公式に入れて x=[(-1+√5)±√(-10-2√5)]/4, [(-1-√5)±√(-10+2√5)]/4.

で, 2√5 < 10 だから, 虚数単位 i を用いると

x=[(-1±√5)±i√(10±2√5)]/4

(√5 の直前の複号だけ同順) となる。

②複素数平面で考える。

（この５個の解は半径１の単位円上に内接すし、点１をひとつの頂点とする正５角形の５つの解となることは明白だから、として図示すれば数学的には問題ないと思いますが。）

x=cosθ+isinθ とおく。

x^5=cos5θ+isin5θとなる。

cos5θ=1より、5θ=0+2nπ(nは整数)となるので

θ=0,72,144,216,288(ここだけ角度ラジアンじゃなくてごめんなさい)がそれぞれ解となる。

1つめは、ド・モアブルを使った方法です。

高校で習うようなものですね。

r>=0として

x=r{cos(a)+i*sin(a)}

とすると、ド・モアブルの定理から

x^5=r^5{cos(5a)+i*sin(5a)}---(1)

となります。

x^5が1に等しいので、同じように書くと

x^5=cos(2π*n)+i*sin(2π*)---(2)

になります。（但しnは整数)

題意より(1)=(2)ですから、以上より

r=1

a=(2π*n)/5

となり、

x=cos((2π*n)/5)+i*sin((2π*n)/5)

（ただし、nは整数）

となります。

もう一個は、4次方程式の解の公式を使います。

x^5=1はx^5-1=0とかけ、これはさらに

(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)=0とかけます。

したがって、

x^4+x^3+x^2+x+1=0の解とx=1が求めるxになります。

あとは、4次方程式の解の公式（フェラーリ）を使って解ける・・・と思います。

URLはダミーです。

解をAexp(it)、（A,tは実数）の形で求めるとすると

　ｘ＾５＝A^5exp(i5t)＝１

両辺の大きさをとると

　A^5exp(i5t)A^5exp(-i5t)＝１

　A^10=1

　A=1

したがって

　exp(i5t)=1

１＝exp(i2nπ）　(n=自然数）

なので

　5t=2nπ

　t=2nπ/5

n=6以上は同じなので

　t=（0,2/5,4/5,6/5,8/5）π

　x=exp(it)　ただし、t=（0,2/5,4/5,6/5,8/5）π

t=0の時は自明の解１、それ以外は複素数解となります。

　複素平面上では、単位円を１を含んで5等分するする５つの点となります。

１）

x^5-1

=(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)

=(x-1)(x^2+ax+1)(x^2+bx+1)

と因数分解されたと仮定すると係数比較して

a+b=1,ab+2=1

⇔

a+b=1,ab=-1

これらを満たすa,bは

t^2-t-1=0

の２解だから

(a,b)=((1-√5)/2,(1+√5)/2)

これらを

x^2+ax+1=0,x^2+bx+1=0の解

x=(-a±√(a^2-4))/2,x=(-b±√(b^2-4))/2

に代入して、全ての解は

x=1,-(1-√5)/4±(√(10+2√5)i)/4,-(1+√5)/4±(√(10-2√5)i)/4

２）

x^5-1

=(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)

ここで

x^4+x^3+x^2+x+1=0

について、x=0は解でないので両辺x^2で割って

t=(1/x)+x

とおくと

t^2-2=(1/x^2)+x^2

だから

t^2+t-1=0

となるので、これを解くと

t=(-1±√5)/2

よって

(1/x)+x=(-1±√5)/2

⇔

x^2-((-1±√5)/2)x+1=0

を解けばよいから全ての解は

x=1,-(1-√5)/4±(√(10+2√5)i)/4,-(1+√5)/4±(√(10-2√5)i)/4

３）

ド・モアブルの定理を使って暗算で

x=cos(2πk/5)+isin(2πk/5)

(但し、k=0,1,2,3,4)

＞cos72°=(-1+√5)/4以外に有理数に直せる三角関数はありますか？

蛇足なのでポイント不要です。

倍角公式、三倍角公式などを使えば、全て有理数になりそうです。

cos144=cos2*72=2(cos72)^2-1

みたいなかんじで。