何度もすみません。数学の質問です。(微分、行列式、積分、一次変換)

2.1

(a+b)(b+c)(c+a) + abc + abc - ab(a+b) - ac(a+c) - bc(b+c)

= a^2b + a^2c + ab^2 + abc + abc + ac^2 +b^2c + bc^2 -a^2b -ab^2 -a^2c -ac^2 -b^2c -bc^2

= 4abc

a:Δxはxの変化、Δyはyの変化なので、

Δx=h

Δy=f(a+h)-f(h)

となります。これを与式に代入すると、

Δy/Δx = (1/(a+2+h)-1/(a+2))/h

=((a+2)-(a+2+h))/h(a+2+h)(a+2)

=-h/h(a+2+h)(a+2)

=-1/(a+2+h)(a+2)

となります。

b:f’(x)は、h→0のときのΔy/Δxなので、aより-1/(x+2)^2となります。

方法は1.1と同じです。

Δy/Δx = (√(x+3+h)-√(x+3))/h

= (√(x+3+h)-√(x+3))(√(x+3+h)+√(x+3))/h(√(x+3+h)+√(x+3))

= ((x+3+h)-(x+3))/h(√(x+3+h)+√(x+3))

= h/h(√(x+3+h)+√(x+3))

= 1/(√(x+3+h)+√(x+3))

b:f’(x)は、h→0のときのΔy/Δxなので、

aより1/2√(x+3)となります。

URLはダミーです。

1

1.1

△y=f(a+h)-f(a)=1/(a+h+2)-1/(a+h)

△x=(a+h)-a=h

より、

△y/△x=-1/(a+h+2)(a+h)

f’(a)=lim(h→0)△y/△x=-1/(a+h)^2

普通に分数式を通分すればできます。

1.2

△y=f(a+h)-f(a)=√(a+h+3)-√(a+3)

△x=(a+h)-a=h

より、

△y/△x=1/{√(a+h+3)+√(a+3)}

f’(a)=lim(h→0)△y/△x=1/{2√(a+3)}

”分子を有理化”するのがポイントです。

2

すいません、行列式の定義とか忘れたのでパスです。

3

3.1

x=cos(t)とおいて置換積分を行うと、dx=-sin(t)dtより

左辺=∫cos(t)/sin(t)×{-sin(t)dt}

=-∫cos(t)dt=-sin(t)+C=-√(1-x^2)+C

（C:積分定数)

√(1-x^2)という形のとき、x=cos(t)もしくはx=sin(t)とおくのは定石です。置換積分については参考書等を確認下さい。

途中でスイマセン。時間があれば残りもやります。

2.2です。

URLでは問題３（２）ですね。

3.1

1-x^2 = t とおくと x^2 = 1 - t

dx/dt * 2x = -1 →　dx = -1/(2x) dt

∫x /(1-x^2)^(-1/2) dx

=-1/2∫1/ t^(1/2) dt

=-1/2∫t^(-1/2) dt

= -1/2 * 2 * t ^(1/2)

= -t^(1/2) + c (cは積分定数)

f : t(x y z) → t(x’ y’ z’) (tは転置を表す)

という1次変換を行列Aとしましょう。すると

A = (( 1, 3,-1)

( 2, 1, 2)

( 5,-4, 3))

となります。

A・t(x y z) = t(3 5 4)

なので、Aの逆行列 A^{-1}を考えて

t(x y z) = A^{-1} ・ t(3 5 4)

Aの逆行列を求める方法は素直に余因子行列を使うも良し、掃出法（ガウスの消去法）も良しです。

3.2

∫(x^2 + x + 1)^{1/2} dx

= ∫(t^2 + 3/4)^{1/2} dt (t = x + 1/2とおく)

= 1/2 * {t(t^2 + 3/4)^{1/2} + 3/4 log(t + (t^2 + 3/4)^{1/2})}

= 1/2 * {(x - 1/2)(x^2 + x + 1)^{1/2} + 3/4 log(x - 1/2 + (x^2 + x + 1)^{1/2}}

3.3

∫(1 + x - x^2)^{1/2} dx

= ∫(5/4 - t^2)^{1/2} dt (t = x - 1/2とおく)

= 1/2 * {t(5/4 - t^2)^{1/2} + 5/4 Sin^{-1}(t/(5^{1/2}/2))}

= 1/2 * {(x + 1/2)(1 + x - x^2)^{1/2} + 5/4 Sin^{-1}((2x + 1)/5^{1/2})}

平方完成して ∫(x^2 + a^2)^{1/2} dx , ∫(a^2 - x^2)^{1/2}という形にすると公式が使えます。

（表示が崩れるかもしれませんが、等幅フォントで参照してください）

与えられた式は下記のように書ける。

／　　＼　／　　　　　　　＼／　＼

｜ｘ’｜　｜１　　３　−１｜｜ｘ｜

｜ｙ’｜＝｜２　　１　　２｜｜ｙ｜

｜ｚ’｜　｜５　−４　　３｜｜ｚ｜

＼　　／　＼　　　　　　　／＼　／

右辺の３×３の行列の逆行列をはき出し法で求めると（どんな方法でも求まれば良いです。URL参照）

｜１　　３　−１｜１　０　０｜

｜２　　１　　２｜０　１　０｜

｜５　−４　　３｜０　０　１｜

　　　　　　　↓

（２行目から１行目の２倍を引き、３行目から１行目の５倍を引く）

　　　　　　　↓

｜１　　　３　−１｜　１　０　０｜

｜０　　−５　　４｜−２　１　０｜

｜０　−１９　　８｜−５　０　１｜

　　　　　　　↓

（２行目を−１／５倍する）

　　　　　　　↓

｜１　　　３　　−１　｜　１　　　　０　　０｜

｜０　　　１　−４／５｜２／５　−１／５　０｜

｜０　−１９　　　８　｜−５　　　　０　　１｜

　　　　　　　↓

（１行目から２行目の３倍を引き、３行目に２行目の１９倍を加える）

　　　　　　　↓

｜１　０　　　７／５｜−１／５　　　３／５　０｜

｜０　１　　−４／５｜　２／５　　−１／５　０｜

｜０　０　−３６／５｜１３／５　−１９／５　１｜

　　　　　　　↓

（３行目を−５／３６倍する）

　　　　　　　↓

｜１　０　　７／５｜　−１／５　　　３／５　　　　０　　｜

｜０　１　−４／５｜　　２／５　　−１／５　　　　０　　｜

｜０　０　　　１　｜−１３／３６　１９／３６　−５／３６｜

　　　　　　　↓

（１行目から３行目の７／５倍を引き、２行目に３行目の４／５倍を加える）

　　　　　　　↓

｜１　０　０｜　１１／３６　−５／３６　　７／３６｜

｜０　１　０｜　　１／　９　　２／　９　−１／　９｜

｜０　０　１｜−１３／３６　１９／３６　−５／３６｜

以上により、逆行列は

／　　　　　　　＼−１　　／　　　　　　　　　＼

｜１　　３　−１｜　　　１｜　１１　−５　　７｜

｜２　　１　　２｜　＝−−｜　　４　　８　−４｜

｜５　−４　　３｜　　３６｜−１３　１９　−５｜

＼　　　　　　　／　　　　＼　　　　　　　　　／

元の式の両辺にこの行列を左からかけると、

　　／　　　　　　　　　＼／　　＼　／　＼

　１｜　１１　−５　　７｜｜ｘ’｜　｜ｘ｜

−−｜　　４　　８　−４｜｜ｙ’｜＝｜ｙ｜

３６｜−１３　１９　−５｜｜ｚ’｜　｜ｚ｜

　　＼　　　　　　　　　／＼　　／　＼　／

求めるベクトルは（ｘ’ｙ’ｚ’）が（３　５　４）となる（ｘ　ｙ　ｚ）であるから、

この式に代入すると、

／　＼　　　／　　　　　　　　　＼／　＼　／　＼

｜ｘ｜　　１｜　１１　−５　　７｜｜３｜　｜１｜

｜ｙ｜＝−−｜　　４　　８　−４｜｜５｜＝｜１｜

｜ｚ｜　３６｜−１３　１９　−５｜｜４｜　｜１｜

＼　／　　　＼　　　　　　　　　／＼　／　＼　／

これが求めるベクトル。

余因子行列を使って逆行列を求める方法もあります