円形の厚紙から扇型を切り取ってじょうごを作り、その容積をもっとも大きくしたい

高さ：円周＝１：√3だそうなので

中心角は60度×２の120度になります。

…。説明必要？

URLはダミーです。

180√2が最大となります。

294度かなぁ。

3分の2ルート6πらぢあん。

トイレで考えました。

間違ってたらごめんなさい。

微分でということなので、二回目の回答。

URLに下手な式をおいときます。

自分は、厚紙の半径をaとおき、中心角をθradとおきました。

(θの範囲が気になるのなら、０〜２πにしといてください。)

それで、扇形の弧の長さは、aθですね。

ここで、aθは底辺の円周と同じ長さなので、

底辺の半径は、2π分のaθとなります。

そして、高さは、底辺と扇形の半径より、

三平方の定理を用いて、URLの1式です。

そして、最後に三角錐の体積を出して(2式)、

ルートの中身を微分すればいいと思います。

久しぶりにこんな問題といたんで、計算間違いとかしょぼいミスがあるかもしれません。

必ず微分でなければいけないでしょうか。

でなくともよいなら…

円錐の体積（じょうごをひっくり返してください）について、頂点から円周部分への直線（三角形の辺になる距離、これ名前なんかあるんですよね？）が一定であるなら、円錐の体積が一番大きくなるのは、頂点の角度が60度の時です。二等辺三角形の面積が一番大きくなるのは正三角形のときであるのと同じでしょう。

で、頂点が60度、頂点から円周部への距離が１の時、円錐の底部の円の直径は当然１です。その時の円周の距離はπです。半径１で円周がπの扇形は必然的に半円になります。

ということは180度でしょう。

でいかがでしょう。

扇の半径を１、中心角をx ラジアンとしましょう。

円錐の底面の半径は、x/2pi。

円錐の高さは、(1-(x/2pi)^2)^.5

円錐の体積yは、底面積×高さ×3/4なので、

y =(x/2pi)^2*pi * (1-(x/2pi)^2)^.5 * 3/4

=x^2 * (1-(x/2pi)^2)^.5 / 12pi

=x^2 * (4*pi^2 - x^2) ^.5 /24

ここで、

関数　z=(4*pi^2 - x^2) ^.5

は、点(0,0)を中心にz>0の範囲に描かれた半径2piの半円なので、

dz/dxは点(x, (4pi^2-x^2)^.5)における半円の接線の傾きに等しく、

即ち　-1/{点(0,0)と(x, (4pi^2-x^2)^.5)を結ぶ直線の傾き}に等しい。

従って、

dz/dx = -1/{(4pi^2-x^2)^.5 / x}

　　　= -x/(4pi^2-x^2)^.5

一方、y= x^2 * z /24　なので

dy/dx　= {2xz + x^2(dz/dx) }/24

　　　 = {2x(4pi^2-x^2)^.5+x^2(-x/(4pi^2-x^2)^.5)}/24

dy/dx=0とし、x≠0, 2piとすると

2x(4pi^2-x^2)^.5+x^2(-x/(4pi^2-x^2)^.5) =0

2x(4pi^2-x^2)^.5= x^2(x/(4pi^2-x^2)^.5)

両辺を(4pi^2-x^2)^.5 /x 倍して

2(4pi^2-x^2)=x^2

8pi^2-3x^2=0

x=(8/3)^.5 pi (ラジアン)　=293.938769(度)

となり、4番の回答の方と同じ答えになります。