メビウスの輪を、分かりやすく、説明してください＞＞通常のメビウスの輪は、2等分したものをハサミで切っていますが、3等分した物をハサミで切ると、2つの輪ができます。これを、理解して納得することができません。実際にすればなんとなくは分かった気になるのですがそれでは嫌です。酷く、頭の固い人に説明できるよう、日本語で納得のいくよう理解させてください。なお、ポイントは、最も、丁寧で、分かりやすかった方に”だけ”配分致します。それ以外は0ptということで宜しくお願い致します。

学生時代にメビウスの輪の「法線方向に関する面積分」について疑問に思ったことがあるんですが、このURLで今ある程度すっきりしました。

閑話休題。

メビウスの輪を作るとき一回ねじりますよね。

その時、左右が入れ替わってくっつくわけです。なので長さLの紙で輪を作ったとき。

・メビウスの輪の面の中心部分に沿ってきっていくと（2等分したもの）、左の部分の面が右に繋がってそれがさらに左に繋がるわけですね。

このとき、端の長さは元々両端にある2L分の長さと、はさみを入れて新たに作られた長さ2Lを足して4Lになり、つまりは長さが2倍の輪になります。

・次に面を3等分したときですが、3等分した真ん中の面は左右を入れ替えても中心ですので、左や右の面に繋がることはなく、そのまま幅が狭くなるだけです。しかし、左右の面は上記と同様に左の部分の面が右に繋がってそれがさらに左に繋がります。

このとき、端の長さは元々両端にある2L分の長さと、はさみを2本入れて新たに作られた長さ4Lを足して6Lになり、中心部分は長さ変わらず2L分の端を使い、左右部分が4Lを使い長さが2倍の輪になります。

ちなみに、輪を作るときに奇数回捻ると左右が反転し2等分すると1本となり、遇数回捻ると左右はくっつかず自分に繋がるので2本となります。

ダミーです。単純に、紙で説明します。

納得しない人には、「あなたが理解

出来ないもの、それがメビウスの輪

なのです」って言えば、神秘さを

わかってくれるはずです！！

URLはダミーです。

座標平面で考えてみるのはいかがでしょうか。

xy平面上で0≦x≦L、0≦y≦6という長方形を考えてみます。（L>0：定数）

この長方形の、(0,t)と(L,6-t)を0≦t≦6で「同一視」すると、

これは一周の長さLのメビウスの輪になりますよね。

（適宜、紙に描いてみると分かりやすいと思います。）

①まずこの長方形を直線y=3で二等分してみます。

(0,3)と(L,3)は同じ点ですから、この切り方はハサミでメビウスの輪を

「一周分」切って、切り始めたところで切り終わる、という切り方に対応します。

また、この切り方でできるものは、「0≦x≦L、0≦y≦3」と「0≦x≦L、3≦y≦6」

という二つの長方形を、「x=0,0≦y≦3」「y=L,3≦y≦6」

及び「x=0,3≦y≦6」「y=L,0≦y≦3」で「つなげた」ものになります。

つまり、長さ2Lの輪ができたということです。

②同じように、この長方形を直線y=2で分割してみましょう。今度はどうなるでしょうか。

(0,2)から始まった直線はそのまままっすぐx軸の正方向に進んで(L,2)に至ります。

今、(L,2)は(0,4)と同一視しているのですから、この直線は次に(0,4)に至り、

y=4からまたまっすぐx軸の正方向に進んで(L,4)に至ります。

(L,4)は(0,2)と同一視していますから、ここで切断は終了します。

この切り方はハサミでメビウスの輪を「二周分」切って、

切り始めたところで切り終わる、という切り方に対応します。

さて、切断後にはどういうものができあがっているか、見てみましょう。

メビウスの輪は、三つの長方形に分割されています。すなわち、

ア：0≦x≦L、0≦y≦2、イ：0≦x≦L、2≦y≦4、ウ：0≦x≦L、4≦y≦6です。

まずアとウに注目してみましょう。

ここには①で考えたのと同じようなものができていることがわかります。つまり、

「0≦x≦L、0≦y≦2」と「0≦x≦L、4≦y≦6」

という二つの長方形を、「x=0,0≦y≦2」「y=L,4≦y≦6」

及び「x=0,4≦y≦6」「y=L,0≦y≦2」で「つなげた」ものです。

これが長さ2Lの一つ目の輪です。

一方、イを見てみましょう。イに関して、「x=0,2≦y≦4」「y=L,2≦y≦4」

は同一視されています。つまり、イはこれだけで長さLの輪を作っています。

以上で、②の切り方では、

ア、ウによる長さ2Lの輪＋イによる長さLの輪

ができることがわかりました。

説明のため、まず2等分の話をさせていただきます。2等分すると、2回捻りの輪になります。

まずこの理由について説明します。

輪を作る前のテープを、まず2等分して2本のテープを作ります。それぞれのテープの端に名前を振りましょう。一本目のテープの端をA、A’。もう一本のテープの端をB、B’とします。

普通の輪は、AとA’、BとB’がくっつくわけで2つの輪になるのは当然なわけです。

メビウスの輪のような一回捻りなら、AとB’、BとA’がくっつき、A→A’→B→B’→Aと一周し、ひとつの輪となり、さらにA’→B、B’→Aの部分で2回捻りとなるわけです。

さて、次に3等分に映ります。3等分すると言うのは、2等分したことによって出来た2回捻りの輪をもう一回2等分するのと同じです。

上と同じように考えましょう。

輪を作る前のテープを、2等分して2本のテープを作り、端にA、A’、もう一本のほうをB、B’とします。（まったく上と同じです）

今回は2回捻りなので、Aは結局A’に結び付けられ、Bは、結局B’に結びつけられます。よって、二つの輪ができるわけです。

さらにこの過程をよく見てみると、AとA’が結びついた輪がBとB’が結びついた輪の中を通るように作られることがわかります。これは捻った結果です。そのため、輪と輪が鎖のようにリンクされるのです。

説明だけだと、ピンと来ないと思いますので読みながら実際に作ることをオススメします。

「線」で捉えてください。例えばＡ地点から輪にそって線を引き始めたとき、再びＡ地点にたどり着くには２周しなければならないわけです。一回の切り込みでは一周しかできません。だから輪が分断されない。だから二周するために二回切る必要があると。だめ？　これで。