複素数(-i)^iの

TI社のTI-89で計算したら、exp(-PI/2)という答えが出ました。

実部: exp(-PI/2)

虚部: 0

絶対値: exp(-PI/2)

偏角: 0[rad]

です。ただ、僕自身では展開できたわけではないのでなんともはや(-。－;)

　(-i)^i

＝e^(i*log (-i))

＝e^(i*(3π/2+2nπ)i)

＝e^(-(2n+3/2)π)

ですので複素数(-i)^iは

無限多価関数となります。

つまり値は一つに定まらないので

実部等は求まらないはずですが・・・

ちなみに2行目から3行目への公式は

z=r*e^(iθ)

のとき

a log z＝a log r＋iaθ＋2naπi

に拠ります。

a^bはaのb乗です。

オイラーの恒等式

ｅ^(ｉθ)＝ｃｏｓθ＋ｉ・ｓｉｎθ

を用いれば、数学における５つの中心的な数が結びつく。すなわち、

ｅ^（ｉπ）＋１＝０

同様にして、

（-1＝e^（πi）の両辺の平方を取ってやります。）

ｉ＝ｅ^（ｉ（π/２））

が得られる。

この式に対して形式的に、

両辺をi乗してやります。

（(a^b)^cはa^(b*c)ですから、）

ｉ^ｉ＝ｅ^(－π/２）　と計算してみる。

ということで、これは、実数なんですね。

さて。ご質問の(-i)^iですが、これは(-i)が1/iであることに目をつければ、答えは簡単、

（1/i)^i=1/(i^i)となります。

ページに書いてある通り

ｉ^ｉ＝ｅ^（－π/２＋２ｎπ）　　（但し、ｎ は、整数）となるので、n=0の時を特に考えるのであれば、

実部=絶対値=e^(π/２)

虚部=0　偏角=0ではないでしょうか。

一応実数として表示されてます。

ここのサイトの一番下に、複素数の複素数乗の計算方法がありました。

i^i = (exp(i*PI/2))^i

= exp(i*PI/2*i)

= exp(-PI/2)

ということで、やはり実数値になるようです。