無限より大きい無限とは！？

答えではありませんが、こちらから導き出してみましょう。（＾＾）

「自然数の集合より実数の集合の方が濃度が大きい」

ということの証明には、カントールの対角線論法を使います。

「対角線論法」で検索をかけると色々と出てくると思いますが、たとえばこちらを参照してみてください。

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ある無限とある無限のどちらの方が「大きいか？」という比較は出来ません。

無限というのは、自然数のように大きさを比較できるような『数』を指すものではないからです。

ここの回答No5の後半に上の質問に対する答えが説明されております。

～～これは最初の仮定：「もし、0と1の間の実数の個数が自然数と同じアレフ0であるならば」が間違っていた、という事です。だから、0と1の間の実数の個数はアレフ0よりも多いことが分かります。これが対角線論法。～～

>実数の方が「濃度」が大きいのですか。

でも、「なぜ」大きいのですかね？

実数の方が個数が多い→濃度が大きい

だと思います。

また、対角線論法は実数の個数がアレフ0より多い事を証明するのに使うものらしいです。

Bが無限大かどうかは判りませんがAと同じかBの方が小さいかのどちらかです。

Aの方が小さいことはまずありません。

Aは無限大です。

数学的にいえば「「a=∞」とは、

任意のx>0に対して「a>x」となる数。

」ということです。任意のxとはどんな数

のxでも当てはまるxのことです。

判りやすく説明するとURLにもあるとおり無限大の定義は

「変数の絶対値がどんな正数よりも大きくなること。」

です。

大きいという事柄そのものを指すのです。AよりもBの方が大きいことはありません。なぜならAはなによりも大きいからです。

もしBの方が大きいと無限大の定義に矛盾します。

Bの一部（部分集合）が無限大になることを証明できればBも無限大だと思います。

おそらく無限大です。

ここまでしか判りませんがとりあえずコメントしておきます。

蛇足かもしれませんが最後にひとつ。

わかった上で書かれているのかもしれませんが0.9999・・・は１と全く寸分違いなく等しい値です。

ここのURLの下にも書いてありますがそれが実数の定義だからです。

この辺の話も面白いですし、参考になると思います。

無限回足すという事は難しいので，まずは適当な自然数 n（≠∞）を持ってきて

n 回足すことを考えます．

すると A は

Σ k=1 から n まで k

と書けます．これを SA_n とします．

また，B は， 0 から 1 までの区間を n 分割して足すということにすると，

Σ k=1 から n まで k/n

と書けます．これを SB_n とします．

SB_n を書き換えると

SB_n = 1/n Σ k=1 から n まで k

= 1/n SA_n

となるので，n が有限であれば明らかに SB_n < SA_n であり，

A の方が 大きいと言えます．

ここで，n を∞にすることを考えますが，

∞というのは定まった数ではないので，n = ∞ とすることは出来ません．

私たちには n を ∞ に近づけることしかできないのです．

これを

n → ∞

と書きます．

このようにして n を∞に近づけると，SA_n と SB_n も同様に∞に近づいていきます．

よって n → ∞ のとき，

SA_n → ∞，

SB_n → ∞

です．（決して SA_n ＝ ∞ ではない）

この状態では，数の大きい小さいを言うことはできません．

なぜなら，どちらも値が定まっているわけではないからです．

n が有限の時には SB_n < SA_n であり，

いくら n が大きくなってもこの関係は成り立っています．

ところが，∞という状態を持ち出してくるととたんに，

値は定まらなくなり，どちらが大きいということもいえなくなります．

回答１に対するコメント内に提示された質問に対して回答を試みますね。

まずアジモフ科学エッセイ「次元がいっぱい」をお勧めします。「無限あれこれ」の章で同様の話題を解説しています。大きな数字マニアのアジモフ博士ですから、実に楽しそうに「∞」の解説をしています。以下自分なりに理解した内容を書きます。

有理数＝∞

では

実数＝有理数＋無理数＞∞なのか？

∞＋∞＝∞なので有理数＋無理数＝∞じゃないのか！と思いがちです。

ここで、「∞」はあくまで整数や有理数上のルールで「１、２、３・・・∞と終り無く続く状態」を表す言葉であり、無理数はその埒外にある事を思い出すべきです。野球のルールでサッカーの判定は出来ないのです。

無理数の数列≠「∞」

よって

実数＝有理数＋無理数＝「∞」の集合体＋「∞」と違うルール上に無数に存在する集合体＞∞

実数を点で表した場合、その無数の点は連なる直線に見えるはずです。

実数＝C（コンティニュアムのC）

その直線上に有理数の点の全てがあり、それ以外にも無理数の点が存在しているのですから、実数の方が∞よりもより濃く無限なのです。

その有理数の点と点の間に必ず無理数の点がある事は証明されています。これが「必ず複数の」点が存在すると証明されれば、

自然数＝∞＜無理数

となるのですが、まだ証明されていません。

また、カントールの予想として、有理数＝∞＝A０（アレフ・ヌル）ならば、

C＝有理数＋無理数＝∞の∞乗＝A１（アレフ・１）

とされていますが、これも証明されていません。

余談として、A1は無限の直線（無限の点）でした。またカントールはA2＝A１のA１乗にも言及していて、これは無限の曲線だと予想しています。A３以上に関してはどんなモノなのか未だに誰も予想していません。フロインドはその著作で「A３以上の無限は我々の想像力を超えている」と云っています。

URLは適当です

どちらも同じ大きさです。

Ａの方がＢよりも「変化が急速」なだけで、どちらも果てはありません。

二次関数のグラフを思い出してみるといいでしょう。

例えばy=x^2とy=3x^2のグラフを比較すると、変化の割合は後者の方が大きいです。

しかしどちらも果てしなく大きくなってしまい、最終的には変わりません。

もう一つ。実数の方が整数よりも濃度が高い理由です。

整数を作るには＋１または－１を続ければいいです。

しかし、実数は分割するわけですから整数よりも多く作れそうです。

例えば１を10個に分割して0.1、0.1を10個に分割して0.01・・・。

もちろん最終的にはどちらも無限になってしまうわけですけど。

ＵＲＬはダミーです。

①は対角線論法による有名な証明でＢ。

②極めてアバウトな言い方ですが、幾何を念頭に考えればわかりやすいのではないでしょうか。

自然数は中学校で習う平面幾何以前の世界の数です。

無理数は平面幾何を学んで世界が広がってはじめて意味が理解できます。脳の使うレベルがあがったので無限のレベルも上がったと考えるのは自然では。

　大体こんな答えでいいでしょうか？

Bの数列の規則性が良くわからないけど、

無限個足すから無限大と言うのは誤りです。

例えば、

1+1/2+1/4+1/8+・・・・・+1/2^∞

は

2

です。

Bの定義って…

∑lim n/無限 ？

n=0→無限

専門から外ているのですが、こんなの解けるのかな…？