確率の問題です。

ポイント不要です。

このままでは誰も答えられないと思いますので、追加の説明をお願いします。

「どれかが揃う」とは、どういう状態になればいいのでしょうか。

だって「同じ数字は２度使えません」という条件では、

縦・横・斜めのいずれかで同じ数字がそろうのはあり得ない、

となってしまうんですから。

じゃ、何がそろえればいいのか、が不明なままです。

3回目で揃う確率

3回ではどれか1列のみが揃う。この列のとり方は縱３横3斜2の8通り。

揃う列を固定して考えるとその列の3つが当たる確率は{(1/15)^3}*(3!)

したがって{(1/15)^3}*(3!)*8＝(2^4)/{(3^2)*(5^3)}＝16/1125 ■

4回目で揃う確率

3回目に1列揃っている状態からは確率１で4回目に1列揃っている状態へ移行することに留意すると、

（4回目で1列揃う確率）＝（4回目終了時に1列揃っている確率）ー（3回目終了時で既に1列揃っている確率）

4回目終了時に1列揃っている確率を求める。チェックされるマスのとり方は、（1列に並ぶ3マスのとり方）＊（残る1マスのとり方）と考えて8*6=48通り。

従って（4回目終了時に1列揃っている確率）＝{(1/15)^4}*(4!)*48＝(2^7)/{(3^2)*(5^4)}＝128/5625

よって

128/5625 ー 16/1125 ＝ 48/5625 ＝ 16/1875■

5回目で初めて1列「のみ」が揃う確率は後に回して６回目で初めて1列「のみ」が揃う確率を求めます。

（６回目で初めてちょうど1列揃う確率）＝（５回目終了時に1列も揃わない確率）＊（その次の抽選でちょうど1列揃う確率）

ビンゴを1列も作らずに5マスを埋める方法は地道に数えると、センターを埋める方法が２＾４＝１６通り、センターを空ける方法はさらに四隅をうちいくつの隅を埋めるかに分けて考え、４隅埋めることは不可能、３隅埋める方法が4通り、２隅埋める方法が10通り、1隅埋める方法が4通りあるので計１８通り、すべて足して３４通りあります。

したがって（５回目終了時に1列も揃わない確率）＝{(1/15)^5}*(5!)*34

夜遅くなったのでここで中断します。

せっかくここまで書いたので送ります。（しかも計算用紙を使ってないｗ）

時間があったらまた書き込みなおします。

1　3回目で揃う確率

3回目では最大で3マスが埋まり，3マスとも埋まったときにようやく1列（のみ）揃う可能性が発生する。

3マス×3マスのビンゴにおいて1列が揃うのは，列に着目して数えると8通り（タテ3通り，ヨコ3通り，ナナメ2通り）。

ただマスに入る順番は問わないので，実際にはこれに3!（=6）を掛ける必要がある。

従って48通り。

他方，分母の方は，問題文が不明確なため問題がある。

T-ponさんのように2回目以降も1～15までの数すべてを抽選の対象にするのか（この場合ビンゴで言うと，一回抽選した球を戻して2回目の抽選を行う。），それとも問題文には明示されていないが通常のビンゴのように抽選済みの球をはずした14個（1回目に「1」の球が抽選されたなら1をはずした2～15までの14個）から選ぶのかがはっきりしない。

そこで，場合分けをすることとする。

(1) 抽選した球を戻す場合

　分母は15^3

　求めるべき確率は=8*6/(15^3)=16/1125

(2) 抽選した球を戻さない場合

　分母は15*14*13

　求めるべき確率は=8*6/(15*14*13)=8/455

2 4回目で初めて揃う確率

4回目では最大で4マスが埋まる。ただし3マスでもビンゴになりうる点に留意が必要である（１回外れを引いてその他３回でタテかヨコかナナメにそろうことを考慮する必要がある。）。

そして，3回目に1列揃っている状態からは確率1で4回目に1列揃っている状態になることから，

（4回目で初めて1列揃う確率）＝（4回目終了時に1列揃っている確率）-（3回目終了時で既に1列揃っている確率）

4回目終了時に1列揃っている確率を求める。

チェックされるマスの取り方は，(1列に並ぶ3マスの取り方)*（もう１個の数字の行方）と考えて8*12=96通り。マスに入る順番は問わないので，実際にはこれに4!(=24)を掛ける必要がある。

ここで場合分けをする。

(1) 抽選した球を戻す場合

　分母は15^4

　4回目終了時に1列揃っている確率は96*24/(15^4)=256/5625

　求めるべき確率は256/5625-16/1125=176/5625

(2) 抽選した球を戻さない場合

　分母は15*14*13*12

　4回目終了時に1列揃っている確率は96*24/(15*14*13*12)=32/455

　求めるべき確率は32/455-8/455=24/455

3 5回目で初めて1列揃う確率

5回目では最大で5マスが埋まり，ダブルビンゴ状態が存在する。４回目で１列が揃っている場合にもう１マス埋まるとダブルビンゴになりうることを考慮に入れると，

(5回目で初めて1列揃う確率)=(5回目終了時に１列以上揃っている確率)-(4回目終了時に１列揃っている確率)

となる。

5回目終了時に1列以上揃っている確率は，３マス埋まっているとき，４マス埋まっているとき，５マス埋まっているときのそれぞれを考慮して計算する必要がある。

とりあえず休憩。ここから先は作業量が膨大になるので，分母の問題について質問者の応答を待ってからにします。

しかし，美しい解き方ではないですね…

上記回答の続きです。

なお抽選した球は戻さないものとします。

3 5回目で初めて1列揃う確率

5回目では最大で5マスが埋まり，ダブルビンゴ状態が存在する。4回目で１列が揃っている場合にもう1マス埋まるとダブルビンゴになりうることを考慮に入れると，

(5回目で初めて1列揃う確率)=(5回目終了時に１列以上揃っている確率)-(4回目終了時に1列揃っている確率)

となる。

5回目終了時に1列以上揃っている確率は，3マス埋まっているとき，4マス埋まっているとき，5マス埋まっているときのそれぞれを考慮して計算する必要がある。

(1) ビンゴのマスが3マスのみ埋まり，ビンゴが完成する組み合わせの数

ビンゴのマス内の組み合わせは8通り。

マスに入っていない数字を選ぶ組み合わせが15通り(6*5/(2*1))。

数字を取り出す順番を考慮すると，8*15*5!通り

(2) ビンゴのマスが４マスのみ埋まり，ビンゴが完成する組み合わせの数

ビンゴのマス組み合わせが8*6通り。

マスに入っていない数字を選ぶ組み合わせが6通り。

数字を取り出す順番を考慮すると，8*6*6*5!通り

(3) ビンゴのマスが５マスちょうど埋まり，ビンゴが１列以上完成する組み合わせの数

まず３マスビンゴになるように並べる組み合わせは8通り。

埋まっていないマスから2マス選ぶ組み合わせは15通り(6*5/(2*1))。

これらを単純に掛け合わせるとダブルビンゴをダブって評価してしまうので，ダブルビンゴの組み合わせを数えて引かなければならない。

そこでダブルビンゴの組み合わせの数を数える。

タテとヨコの組み合わせが9通り，タテとナナメの組み合わせが6通り，ヨコとナナメの組み合わせが6通り，ナナメ同士の組み合わせが1通りなので，ダブルビンゴの組み合わせは22通り。

したがって，ビンゴのマスが5マスちょうど埋まり，ビンゴが１列以上完成する組み合わせの数は，数字を取り出す順番を考慮すると，(8*15-22)*5!通り

(4) したがって５回目でビンゴが１列以上完成する組み合わせは，

8*15*5!+8*6*6*5!+(8*15-22)*5!=(120+288+98)*5!=506*5!通り

(5) ５回目でビンゴが１列以上完成する確率は，

(506*5!)/(15*14*13*12*11)=46/273

(6) 求めるべき確率は，

46/273-32/455=134/1365

3 6回目で初めて1列揃う確率

6回目では最大で6マスが埋まり，ダブルビンゴ・トリプルビンゴ状態が存在する。5回目で１列以上揃っている場合にもう1マス埋まるとダブルビンゴ・トリプルビンゴになりうることを考慮に入れると，

(6回目で初めて1列揃う確率)=(6回目終了時に１列以上揃っている確率)-(5回目終了時に１列以上揃っている確率)

となる。

6回目終了時に1列以上揃っている確率は，3マス埋まっているとき，4マス埋まっているとき，5マス埋まっているとき，6マス埋まっているときのそれぞれを考慮して計算する必要がある。

(1) ビンゴのマスが3マスのみ埋まり，ビンゴが完成する組み合わせの数

ビンゴのマス内の組み合わせは8通り。

マスに入っていない数字を選ぶ組み合わせが20通り(6*5*4/(3*2*1))。

数字を取り出す順番を考慮すると，8*20*6!通り

(2) ビンゴのマスが4マスのみ埋まり，ビンゴが完成する組み合わせの数

ビンゴのマス組み合わせが8*6通り。

マスに入っていない数字を選ぶ組み合わせが15通り(6*5/(2*1))。

数字を取り出す順番を考慮すると，8*6*15*6!通り

(3) ビンゴのマスが５マスのみ埋まり，ビンゴが１列以上完成する組み合わせの数

まず3マスビンゴになるように並べる組み合わせは8通り。

埋まっていないマスから2マス選ぶ組み合わせは15通り。

これらを単純に掛け合わせるとダブルビンゴをダブって評価してしまうので，ダブルビンゴの組み合わせを数えて引かなければならない。

そこでダブルビンゴの組み合わせの数を数える。

タテとヨコの組み合わせが9通り，タテとナナメの組み合わせが6通り，ヨコとナナメの組み合わせが6通り，ナナメ同士の組み合わせが1通りなので，ダブルビンゴの組み合わせは22通り。

したがって，ビンゴのマスが5マスちょうど埋まり，ビンゴが1列以上完成する組み合わせの数は，数字を取り出す順番を考慮すると，(8*15-22)*6!通り

(4) ビンゴのマスが6マス埋まり，ビンゴが１列以上完成する組み合わせの数

これは，ビンゴのマスが6マス埋まる組み合わせの数から6マスも埋まってビンゴができない数を引く方が数えやすい。

ビンゴのマスが6マス埋まる組み合わせの数は，9*8*7*6*5*4/(6*5*4*3*2*1)=9*8*7/3*2*1=84通り

６マスも埋まってビンゴができない組み合わせの数は，2通り(ナナメに空白が揃うパターンしかない。)。

ビンゴのマスが6マス埋まり，ビンゴが1列以上完成する組み合わせの数は，数字を取り出す順番も考慮すると，(84-2)*6!通り

(5) したがって6回目でビンゴが1列以上完成する組み合わせは，

8*20*6!+8*6*15*6!+(8*15-22)*6!+(84-2)*6!=(160+720+98+82)*6!=1060*6!通り

(5) 6回目でビンゴが1列以上完成する確率は，

(1060*6!)/(15*14*13*12*11*10)=212/7*13*11=212/1001

(6) 求めるべき確率は，

212/1001-46/273=636/3003-506/3003=130/3003

以上。