下記の算数の問題をわかりやすく教えてください。

URLはダミーです。

「算数」なので，線分をかけるとよいのですが，言葉だけの説明になってしまいます。

①　定価と原価の間に売値を考えます。また，いわゆる「割合」の問題なので，もとにする数を「１」としてしまう場合も多いのですが，「わかりやすさ」から具体的にします。

原価を100円とします。１割２分の利益を出すためには，売値を

　100×(1＋0.12)＝112（円）…(1)

にする必要があります。また，定価からみると売値の112円は，全体を１としたときの２割引

　1−0.2＝0.8…(2)

にあたります。ここからが結構小学生がつまづくところですが，

　割合にあたる数＝もとにする数×割合

なので（かけ算とわり算の関係から），

　もとにする数＝割合にあたる数÷割合…(3)

要するに，もとの7割が350円ならもとの値段は　350÷0.7＝500（円）ってこと。

　(1)〜(3)から，定価は

　112÷0.8＝140（円）

となります。

　以上から，原価100円，定価140円なので「4割増」という答えがでます。

　もちろん原価を「１」にしても同じ結果になります。

②　これは面積図がないと説明がつらいのですが，長方形に縦１本，横１本の線（中央ではなく）を入れた図を想像するか書くかしてください（長方形は４つに分かれます）。

　左の縦線を乗客数，下の横線を乗車料金とします。乗客数（全体の長方形縦の長さ）を100（人）としましょう。

下の横線は２つに分けられていますが，左側を１（値上げ前の料金），右側を0.4（値上げした分の料金）とします。

　４つに分かれているうちの左側（上下）２つは，値上げ前の収入です。…(1)

　また，下の（左右）２つが値上げ後の収入です（←横線は減ったあとの人数です）。…(2)

　値上げ前は(1)から　100(人)×1(円)で収入は100円。

　値上げ後は　26％増えたので　100(円)×(1＋0.26) で126円。

　そしてこれは(2)の面積にあたるので，(2)の縦の長さは

　126÷(1＋0.4)＝90

そして，これは値上げ後の乗客数　90人　にあたるので，減ったのは

　10％

となります。

　この場合，料金を100円，140円とすると感覚的に近くなりますが，計算のけたが増えるので，1，1.4を使いました。

①

定価の2割引 = 定価 × 0.8

1割2分の利益 = 原価 × 0.12

定価の２割引で売ってもなお１割２分の利益を出せるということなので、

以下の式が成立する。

定価 × 0.8 = 原価 + 原価 × 0.12

この式を整理すると、

定価 = 原価 × 1.4

となり、定価は原価の1.4割り増しとなる。

-------

②

減った乗客の割合をxとすると、

値上げ前の収入 = 乗車料 × 乗客数

値上げ後の収入 = 乗車料 × 1.4 × 乗客 × (1 - x)

値上げ後、乗客数は減りましたが、収入は値上げ前より２６％増えました、ということなので、

乗車料 × 乗客数 ×1.26 = 乗車料 × 1.4 × 乗客 × (1 - x)

この式を整理すると、

x = 0.1

となり、乗客は10％減ったことになる。

まず、

1問目：4割り増し

2問目：10%

です。

1問目は

まず、2割引する、ということは

2割というのは割合では0.2のことですから

(1-0.2)をかけるということです。

だから、

定価×0.8＝売値

となります。

また、「定価の２割引で売ってもなお１割２分の利益を出せるように定価をつけました。」ということは、結局、原価の1割2分増しが売値ということです。1割2分増しは、(1+0.12)をかけるということですから、

原価×1.12＝売値

となります。さっきの式とあわせると、

定価×0.8＝原価×1.12

となるので、

定価＝原価×1.12÷0.8

定価＝原価×1.4

ということで、原価の4割り増しが定価となります。

2問目は

以前の乗客×以前の料金＝以前の収入

という式が成り立ちます。

これを変形すると

以前の乗客＝以前の収入÷以前の料金

となります。

また、これと同様に、

今の乗客＝(以前の収入×1.26)÷(以前の料金×1.4)

という式も成り立ちます。

これも変形すると、

今の乗客＝（以前の収入÷以前の料金）×(1.26÷1.4)となります。

以前の乗客＝以前の収入÷以前の料金

なので、

今の乗客＝（以前の収入÷以前の料金）×(1.26÷1.4)となります。

今の乗客＝以前の乗客×(1.26÷1.4)

今の乗客＝以前の乗客×0.9

となり、0.9=1-0.1なので、10%減少したことになります。

①「定価の２割引で売ってもなお１割２分の利益を出せるように定価をつけました。定価は原価の何割り増しですか？」

つまり、「定価(「原価」から何割か増して値段をつけたもの）」を、2割引きで売っても、原価に1割２分利益が出るように「定価」がつけられており、その「原価」から「定価」に、何割増してつけられているか、という問題です。

　①割り増し具合を仮に「y」とします。

　②「原価」を仮に、いくらという数字をいれた方が分かりやすいので、適当に値段をつけます。

　ここでは、原価を１００円とします。

　③売れた数は、何個にしても条件に該当するはずなので、ここでは、「１個」とします。

　原価　　　　　１００(円)

　割り増し具合　　　y

　売る個数　　　　　１個

　定価(原価×割増し具合「y」)

　　　=１００y(円）

☆定価を２割引く→定価に0.8(1−0.2)をかける。

　　　　　　　　　0.8×１００y

☆1割2分の利益が出る→原価に1.12かける。

　　　　　　　　　　　１００×1.12

　問題文より、上の☆が等しいことが分かる。

　0.8×１００y＝１００×0.12

　　　　 ８０y＝１１２

　　　　　　 y＝１．４

つまり、「原価」から「定価」への「割り増し具合」は１．４→定価は原価を１．４倍した額＝定価(１．４)は原価(１)に０．４(4割)足されたものである。

　∴定価は原価の　「4割増し」である。

②「あるバス会社で乗車料金を４０％値上げしたところ、値上げ後、乗客数は減りましたが、収入は値上げ前より２６％増えました。乗客数は何％減りましたか？」

　つまり、もともとの値段から、乗車料金を40%増しで売ったところ、収入は26％増えたが、乗客が減った、その減り具合を答えよ、ということです。

　この問題は、以前の料金・乗客数に具体的に数字をいれて考えましょう。

　　　　　　前

乗車料金　　１０００円

乗客数　　　　１００人

　よって

収入　　１０００００円

　　　　　　後

乗車料金　　　　１４００(１０００×1.4)円

乗客数　　　　　分からない→仮にy

収入　　　　　　１２６０００(１０００００×1.26)円

　ここで、yを割り出し、以前との数字と比較したら、何パーセント減ったか分かる。

１４００(乗車料金)×y(乗客数)＝１２６０００(収入)

y＝１２６０００÷１４００

＝９０

前１００人、値段変更後９０人より、

１００人を１００％とすると、９０人は９０％。よって１００(％)−９０(％)＝１０(％)

　∴乗客数は １０％ 減った

1)１割２分の利益は、売価の1割2分でしょうか？原価の1割2分でしょうか？

売価の1割2分とすると算数にならなかったので、原価の1割2分とします。

まず定価の２割引は1割2分の利益が出ることから、原価の112/100倍になります。

8割は、8/10ですから、定価を求めるにはこれを8/10で割ればよいので　

112/100÷8/10＝112/100×10/8＝14/10。

定価は原価の14割となります。

問題は、何割増しかと聞いているので、4割増しとなります。

何割増しとか何割引をすべて「何倍」かに置き換えること、後から順番に解くこと、

どうせ計算するので途中は仮分数でおいて置くことが教えるポイントでは。

２）収入は、料金×乗客数で求められます。

値上げ後の収入は前に比べて126/100倍になりました。

値上げによって、料金は140/100倍になりました。

もし、値上げをしていなければ、収入は100/140になったはずです。

126/100×100/140=126/140=9/10＝90/100。

値上げをしなかった場合の収入は、最初の90%です。

料金が同じであれば、収入は乗客数に比例しますので、乗客数が最初の90%ということ。

問題は何％減りましたか？なので10%減りましたが答え。

Ｘを使って力技でなんとかなる数学よりも制約の多い算数の方が難しいっす。

これで算数嫌いになった子供が数学に手をつけなくなるんだよなぁ。。。

urlはダミーです。

①

定価の２割引＝定価の８割・・・A

１割２分の利益＝原価の1.12倍で売れた・・・B

AとBから

原価の1.12倍＝定価の２割引の値段　と置け

それは

原価の1.12倍＝定価の８割　

と置きなおせる。

ここで

原価を１という大きさと過程すると

売値は１．１２という大きさに置ける。

つまり

１．１２＝定価の８割

１．１２＝定価×０．８

定価＝１．１２÷０．８

定価＝１．４

原価が１だったので１．４倍

つまり４割り増しです。

②値上げ前と、値上げ後の比較なので

値上げ前の乗車料金と乗客数と収入をそれぞれ「１」と置く。

それに対して、値上げ後はそれぞれ

　　値上げ前　値上げ後

料金　１　　　１．４

人数　１　　　　？

収入　１　　　１．２６

料金と人数と収入の関係から

１．４×？＝１．２６

？＝０．９

となり、値上げ前を１と置いているので

０．１の減少＝１０％の減少となる。

文章での説明って難しいですね。

定価　ａ＝ 1.00a

売価　ｂ＝ 0.80a

原価　ｃ＝ 0.88b ＝ 0.80 × 0.88 ＝ 0.704

答①：定価は原価の4.2割増 ← a÷c ＝ 1.420 ％

値上前　1.00e ÷ ＠1.00 ＝ 100p 人

値上後　1.26e ÷ ＠1.40 ＝　90p 人

答②：値上後の客 -10 ％ ＝　90-100

　算数ですね。中学入試でしょうか？昔が懐かしい(笑

①ですが、１割２分の利益が定価の１割２分か、売値の１割２分か書いてませんが、おそらく定価をもとにしていると思うので解くと、

定価が１００円なら２割引の売値は100×0.2＝２０円　利益は100Ｘ0.12＝１２円

原価は100-12-20＝６８円

100÷68＝1.470・・・になります。

何割り増しですかと聞かれているので

答え　定価は原価の約５割り増し

　と答えればいいと思います。

売値の１割２分が利益だった場合は

定価を１００円として考えると売値は８０円、利益は9.6円、原価は70.2円

100÷70.2＝1.420・・・

になるので

答え　定価は原価の約４割り増し

②は非常に簡単です。

もともとの売り上げを１００とする。

もし、値上げしても乗客が変らなければ１４０の収入があるはずが１００+100Ｘ26％＝１２６しかないので

126÷140＝0.9になり乗客は今までの0.9しか居ない＝90パーセントしかいないことになります。

よって乗客は10％減ったことになり、

答え　10％　

になります。

どうも一番の問題は数字が合わないので？なところはあるのですが。

数学的にやるとすればこんな感じ

①

原価がa、定価がそのx倍のxa円とします。

定価の２割引＝0.8*xa、１割２分の利益＝1.12*aですよね。

この二つが等しいので、

0.8xa=1.12a

を解いて、x=1.4を得ます。よって４割増し。図をかいて（数直線みたいなの）やれば、算数的に説明することもできます。

②

値上げ前の乗客数をa、料金をbとします。

値上げ後、乗客数がx%減ったとすると、乗客数は(100-x)*a/100で、料金は1.4bということになります。

題意より、

1.4b*(100-x)*a/100=1.26ab

で、これを解いて、x=10を得ます。これはこのやり方で解くか、マルやシカクのなかに数字を書く方法で説明するのがわかりやすいと思います。

解くだけなら簡単ですので小学生にわかりやすいようにしました。

①定価と原価の関係式を問われている、ことをまず見抜く(国語力)

原価はa円、定価はb円とする。算数やから①、②とかのほうがいいかも。

b×0.8＝a×1.2

よってb=a×1.5

実際に原価100円、定価150円で検算しても合います。

②状況把握を確認する。値上げ前後で変化しているのは料金と乗客数の2点。

また、売り上げが料金と乗客数で求められることを確認。

値上げ前の料金をa円、値上げ前の乗客数をb人、値上げ後をc人とする。bとcの関係式を求める。

a×b×1.26＝(a×1.4)×c

c=b×0.9

90%になった、ということは10%減少した。

(1)

原価を１とします。

定価の2割引、つまり（定価）×0.8が1.12にあたるのですから、

定価は1.12÷0.8＝1.4なので、

原価は定価の1.4倍、つまり4割増しです。

（2）

まず、前提として、乗車料金を何倍にしたか、という数と乗客数を何倍にしたか、という数を掛け合わせると収入が何倍になったか、という数が出ます。

別の言い方をすれば、乗客数をa倍にして、乗車料金をb倍すると、収入はa×b倍になります。

たとえば、乗車料金が3倍になって乗客数が変わらなければ収入は3倍になりますが、そこで乗客数が2分の1になると、収入は3分の2になりますよね。

ここが算数だけで説明するのは難しいところなのですが……

長方形の縦の長さに乗車料金、横の長さに乗客数をとって、面積図で表わすと分かりやすいかもしれません。

このことを了解していただければ、乗車料金が1.4倍になり、収入は1.26倍になるので、1.4×（乗客数の倍率）＝1.26なので、

1.26÷1.4＝0.9より、

乗客数は0.9倍、つまり10％減ったということになります。

ＵＲＬも参考にどうぞ。

①　

ここでは定価をX、原価をYとします。

で、定価の２割引で売っても１割２分利益が出るわけですから、

　0.8X-Y＝0.12Y

という式が成り立ちます。Yを右式に移行しますと

　0.8X=0.12Y+Y

つまり

　0.8X=1.12Y

となります。で、

　　　X=1.12Y/0.8

となり、

　　　X=1.4Y

となります。

以上より定価は原価の４割増という事になります。大丈夫か？この会社。

②

ここでは値上げ前の料金をA、乗客数は値上げ前がB、値上げ後がCとします。

で、値上げ前の収入は

　　　A*B

値上げ後の収入は

　　　1.4A*C

で表せます。で、値上げ後は２６％の増収ですのでこの両者の関係は

　1.26*A*B=1.4A*C

となります。この時、Aは両式に存在しますので、

　1.26*B=1.4*C

となります。で、なん％減になったかを知りたいのでCについて整理します。

　　C=1.26*B/1.4

となり、

　　C=0.9B

となります。

以上から、値上げ前より乗客は１０％減少したといえます。

で、合ってるかな（^^

１　問題文の逆から考えて、

　原価×1.12　…この式で原価の１割２分の利益が出るような値段が出る。

　　上の式が定価の２割引、つまり定価の８割であるから

　　(原価×1.12)÷8　…この式で定価の１割を出す。

　　定価の１０割が定価そのものなので

　　{(原価×1.12)÷8}×10　…この式で定価がでる。

　　よって、定価は　原価×1.4

　　定価は原価の４割増しである。

２　元々の収入は

　　乗車料金×乗客数　である。

　　値上げ後の収入を考えて、収入は２６％増えたので

　　乗車料金×乗客数×1.26…1　である。

　　乗車料金を４０％増やしているので、値上げ後の収入は

　　(乗車料金×1.4)×(乗客数×乗客数の減った割合)…2　となるはずである。

　　1の式と2の式は同じ値であるから、割合だけを考えると

　　1.4×乗客数の減った割合＝1.26　となる。

　　よって、

　　乗客数の減った割合＝0.9

　　乗客数は１０％減ったのである。

注：「乗客数の減った割合」とは「元の乗客数を１としたときの、減った後の乗客数のことである。」