詳細は↓
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これはどのように展開できる(計算できる)でしょうか?
途中計算も含めてお願いします。
a、bは定数です。
人の背中は見えるが、自分の背中は見えない
√(1−xx)
=(1−xx)の1/2乗
=1/2*(-2x)(1−xx)の1/2乗
=-x/(1−xx)
となる。(書き直さないと分かりにくいですが)
あとは定数を入れたらおしまい。
Yahoo! JAPAN
x=¥sin{¥theta}
とおくことによって、ルート内が¥cos{¥theta}に、dxが¥cos{¥theta}d¥theta になります。
これに三角関数の公式を使って次数を減らしてあげれば積分できます。
ただし、0<a,b<1である必要があります。
ごめんなさい!
私のリクエストは、「途中計算も含めてお願いします。」です。
x=sint (-π/2<=t<=π/2)とおく
dx=costdtとなるから
I=∫(cost)^2dt=1/2∫(1+cos2t)dt
ここでt=sin-1x(インバース)を代入して
I=1/2sin-1x+1/2x√(1-x^2)
あとはI(b)-I(a)をすればOK
答えまで導いて下さった方はいない??
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表記はTeXに準拠しているはずです。
x=¥cos{}t とおくと、
(1-x^2)^(0.5)=¥sin{}t
となり、
a=¥cos{}α, b=¥cos{}β であるとすると
式全体では
与式=-¥int^{β}_{α}sin{}^(2)tdt
となり、どうにかこうにかとけるはずです。
そもそも、(1-x^(2))^(0.5)自体、グラフにすると半径1の円の上側の半円を示すので、
その事を念頭に置いてとくことも可能です。
「¥」の意味は何でしょう?
まず、非積分関数を実数の範囲に留めて置くために、
-1<a<b<1
とします。
次に、
x=sinθ
と置換します。
すると、
dx=cosθdθ
√(1-x^2)=cosθ
となるので、
被積分関数は
(cosθ)^2
となります。
ここで、二倍角の公式より
(cosθ)^2=(cos2θ+1)/2
と表し、
これをθについて積分すると、
θ/2+sin2θ/4
となります。
この式のθをxに直すと
arccosx/2+x√(1-x^2)/2
となるので、
答えは
(arccosb-arccosa+b√(1-b^2)-a√(1-a^2))/2
です。
※注
^2は二乗を表し、arccosxはx=cosθのときのθの値を表します。
お、これはいい感じです。
かなり参考にさせていただきます!!
x=cosθ(0≦Θ≦π)とおいた置換積分でよいのでは?
とりあえず、不定積分の計算ですが、
∫√(1-x^2)dx
=∫√(1-(cosx)^2)dθ(dx/dθ) …①
=∫√(sinθ)^2(-sinθ)dθ
=∫(-(sinθ)^2)dθ
=∫((cos2θ−1)/2)dθ …②
=(sin2θ−2θ)/4
これで原始関数を求める事ができたので、後はこれをa=cosαなるαからb=cosβなるβまで積分すればよいのです。
具体的にいうと、a=-1/2、b=1/2であるのなら、求めた原始関数を2/3πから1/3πまで積分して、π/6+√3/4となります。
もっとも、この関数のグラフは原点を中心とする単位円の上半分なので、それさえ知っていれば幾何的に解けますが。
①:ここでx=cosθとおいて置換しています。積分する変数を変換するのも忘れずに(後半部)
②:倍角の定理を逆に用いて、sin^2(積分しにくい)をsin(積分しやすい)に変えています。
場合分けが必要ないのは、最初に決めたθの範囲ならばsinθ≧0だからです。
この範囲でもcosθは-1以上1以下の全ての範囲を取り得ます。
皆様ありがとうございました。
アドバイスをもとに、以下のようにまとめました。
http://pub.idisk-just.com/fview/kSSFTtBHSR7B98qv3bYCgyhGLjXX...
誤りがありましたご指摘ください。
いただいたアドバイスですが、
私的に最も優れていたと思うのは、x=sinθではなく、x=cosθと置いてくれた方ですね。
後者だと計算過程で絶対値が出てこなくてすみますから。
そして、事実上答えまで導いてくれた方。
Wutugu0276さんが最高の答えでした。
とり急ぎお礼まで。
ごめん、ちょっとわかりにくいです。
インテグラルないし・・・。