次の確率を求める問を解いてください。正解者にはポイント差し上げます。解答だけではなく途中の式も書いてください。

Pr｛A ∪ B｝ = Pr｛A｝ + Pr｛B｝ - Pr｛A ∩ B｝

より

３／４＝３／８＋５／８－P｛Ｅ ∩ Ｆ｝

P｛Ｅ ∩ Ｆ｝＝８／８－６／８＝２／８

Pr｛A ∩ B｝ = Pr｛A｝ ・ Pr｛B | A｝

より、

P(F|E)＝P｛Ｅ ∩ Ｆ｝／P(F)

＝（２／８）／（５／８）

＝２／５

P(E|F)＝P｛Ｅ ∩ Ｆ｝／P(E)

＝（２／８）／（３／８）

＝２／３

n = ∩, U = ∪として計算しています。

1.

P(E∪F) = P(E)+P(F)-P(E∩F)より,

P(E∩F) = P(E)+P(F)-P(E∪F) = 3/8 + 5/8 - 3/4 = 1/4.

P(E|F) = P(E∩F)/P(F) = (1/4) / (5/8) = 2/5.

P(F|E) = P(E∩F)/P(E) = (1/4) / (3/8) = 2/3.

2.

ド・モルガンの法則よりEc∩Fc = (E∪F)c, Ec∪Fc = (E∩F)c.

また, E∩Fc = E∩(U ￥setminus F) = E ￥setminus E∩F (ただしUは全事象, EとFを入れ替えても同様).

(a) P(Ec∩Fc) = P((E∪F)c) = 1 - 5/8 = 3/8.

(b) P(Ec∪Fc) = P((E∩F)c) = 1 - 1/4 = 3/4.

(c) P(E∩Fc) = P(E) - P(E∩F) = 3/8 - 1/4 = 1/8.

(d) P(Ec∩F) = P(F) - P(E∩F) = 1/2 - 1/4 = 1/4.