なぜ標準偏差は、平均値と各変量の差の絶対値の平均値ではなくて、差の２乗の平均の平方根なのでしょうか。なぜ２乗する必要があるのでしょうか。

こんにちは。

ざっくりと説明すると、絶対値の方が計算が煩雑だからです。値を正の数にしたいのはお分かりですよね？　正の数にするときには絶対値を使ってみるのは確かにいい方法です。

が。

絶対値には欠点があります。場合分けが必要なのです。これはコンピュータが計算する場合、処理がちょっとだけ面倒になります。

ですが、2乗するとどうでしょうか？　場合分けがなくても、値が正の数になります。なので、2乗が使われるのです。

絶対値だと積分の時に不便(絶対値の中が正の時と負の時の区間で分けなければならない)ですが、2乗するとその区別が不要になるという、数学的便宜から、標準偏差を求める時は2乗する、というようになっています。

話が逆というか、２乗の平均の平方根を「標準偏差」、絶対値の平均は「平均偏差」と呼ぶのです。

で、なぜ２乗するかと言う話なら、こんどは「２乗すると数学的になにかと都合がいいから」というのが一番正しい答え方と思います。

urlご参照下さい。

URLはダミーです。

絶対値よりも2乗したほうが数学的に扱いやすいからだと思います。

絶対値の関数は不連続ですが、2乗は2時間数で連続ですので、全領域で微分可能です。

“平均値と各変量の差の絶対値の平均値”を平均偏差といいます。

　上のサイトに解説がありますが、難解なので解説。

＜分析＞

『統計学の歴史でみると、標準偏差と平均偏差がともに、Peasonによって考え出されたことがわかるが、これは意外なことである。標準偏差と平均偏差とでは概念の難しさにおいて差があるように思われるから、年代的に平均偏差が先に現れ、その後で標準偏差が出て来るのが自然なところだろう。しかし、実際には、両者は同一の機会で現れたのである。また、四分偏差やモードなどの素朴なアイデアや、重相関やΧ２テストといった高度なアイデアが入り混じって考案されたのであった。しかも、それは19世紀末のことであって、すでに、確率論はかなりの発展をした後であり、解析学などもすでに19世紀には目覚しい発展をした後のことである。

　すなわち、今日中学校で教えられているような統計学の基礎概念は、数学が高度に発展した後に生まれたため、文化的・社会的な成熟をする機会がないまま、高度な数学の理論に飲み込まれて行ったと考えられる。したがって、これらの概念には理解しやすいかどうかという基準はあてはまりにくく、“数学理論的に有用であるかどうかという基準に支配されている”のであろう。』

　標準偏差は、そのほかの統計学的に意味のある数値（分散・四分偏差・相関係数・重相関・変動係数など）を求めて行く上で必須なので、その後の応用のことを考えると、仕方なく使っている、という感じです。

　大学で統計学の教授にでも聞けば、もっと詳しい解説があるんでしょうけど、すいません、そこまではちょっとできませんでした。

ちゃんとした答えにはならないと思うので、無視していただいても結構です。また、上記のページはあまり関係ありません。

統計学においては、変動、分散が標準偏差よりも重要視されます。しかし、変動Sxや分散Vxは偏差の自乗により、単位が自乗されています。

そのため、標準偏差は人の目にわかりやすく、<strong>単位を各辺量と同じにするため</strong>、平方根を取っている

…と、学校の先生は言っていました。

なので、そもそもなぜ変動が自乗されているのかということはわかりません。