微分方程式初心者です。以下の２問を解きながらに微分方程式の解き方を教えてください。どちらか一問でもかまいませんが、両方の問題について納得出来次第締め切らせていただきます。

まず簡単な方から

x-2y=uとおきます

xで微分すると 1-2y’=du/dx

(2u-1)y’=(u+2)より

1-2(u+2)/(2u-1)=du/dx

1-(2u+4)/(2u-1)=1-(1+5/(2u-1)

-5/(2u-1)=du/dx

変数分離して

(2u-1)du=-5dx

∫(2u-1)du=-5∫dx+C

u^2-u=-5x+C

x-2y=uなので

(x-2y)^2-(x-2y)+5x=C

(x-2y)^2+4x+4y=C

となります

^2は2乗のことです

y’’ = d^2y/dt^2 , y’ = dy/dtと表します。

y’’ + y’ = sin(t)……(i)

非斉次微分方程式なので、まず斉次微分方程式　y’’ + y’ = 0 ……(ii)　を解きます。

特性方程式を考えるとλ^2 + λ = 0なので根は0,-1になります。

よって斉次微分方程式の一般解は

y= C_1 e^{-1*t} + C_2 e^{0*t}

= C_1 e^{-t} + C_2

となります。

非斉次微分方程式は(i)の特殊解と(ii)の一般解の和になるので、次に(i)の特殊解を求めます。

(i)の右辺がsin(t)なので、特殊解はy = a sin(t) + b cos(t)の形をしていると考えられます。実際に(i)に代入してみると、

(a - b) cos(t) - (a + b) sin(t) = sin(t)

よって

a = 1/2 , b = 1/2

となります。

よって

y = C_1 e^{-1*t} + C_2 + 1/2 ( sin(t) + cos(t))

です。

後は初期条件が二つあるのでC_1,C_2を決定します。

t=0の時、y=0なので、

0 = C_1 + C_2 + 1/2

t=0の時、y’=0なので、

0 = -C_1 + 1/2

これを解くと、C_1 = 1/2 , C_2 = -1を得ます。

以上より、

y = 1/2 (e^{-t} + sin(t) + cos(t) ) - 1

となります。

URLはダミーです。

手書きで解答してみました。字が読みにくいのはご勘弁を。

一応、未定係数法とラプラス変換法の2種類で1問目をといてみました。

ただ説明不足だと思うので理解しにくいかもしれません。すみません。